1. 随机微分方程
1.1 随机微分方程
随机微分方程是常微分方程加上一个由 Brown 驱动的随机扰动，即
其中 是 Brown 运动，当 时就是一个常微分方程. 但是 对于 的依赖性的不同导致不同类型的随机微分方程，最简单的一类是 型随机微分方程
其中 是状态空间上的函数.
型随机微分方程的解一定有 Markov 性，即给定现在，将来和过去式独立的. Black-Scholes 模型就是相信市场是 Markov 的：市场现在的状态已经表达了市场的一切，再研究其过去对预测其将来毫无帮助.
随机微分方程存在强解和弱解：
- 强解：任意给定一个概率空间以及概率空间上的 Brown 运动 ，都存在一个随机过程 满足以下方程
即任意给定 都有解 .
- 弱解：可以找到一个概率空间和概率空间上的两个随机过程 使得 是 Brown 运动，且满足方程：
即同时存在 和 满足方程.
1.2 Black-Scholes 方程
方程左边代表瞬时增长率. 方程的直观意义是 的增长率是一个常数加上一个随机扰动. 如果 ，那么方程是确定性的，它的解为 .
方程可写为
因此， 是连续半鞅，其二次变差为
由 公式
由此推出
本质上是一个几何 Brown 运动
2. Black-Scholes 公式
如果 是一个随机过程，代表某个风险资产价格， 代表连续复利的利率， 代表投资策略， 代表由初始投资 和投资策略 所诱导的自融资方式下的财富积累过程，那么折现的财富过程是 关于折现的资产价格的随机积分，即
其中 和 代表折现资产
到期日为 的衍生证券是
可测的随机变量 ，它有对冲是指存在 和 使得 ，那么有
对冲是指衍生证券所锁定的价值可以通过对资产自融资投资来实现.
假设 满足 Black-Scholes 方程
其中 称为收益率， 称为波动率， 有表达式
折现后
其中
记 . 由 Girsanov 定理，存在新的测度
使得 是鞅，但是 ，所以 在新测度下是标准 Brown 运动且 是 的指数鞅，即
显然 ，Brown 运动有鞅表示性质，所以在新测度空间下，存在 使得
其中 是关于新测度的期望，因此推出
令 ，即说明 是可以对冲的
且定价表达式为
即，是衍生证券在新测度下期望的折现值.
如果 是敲定价格 的欧式买入期权：
计算 ，注意 在新测度下的分布是 ，在记
所以
其中 是标准正态分布函数.
因此，欧式买入期权的无风险定价为
该表达式仅与 有关，而与资产的收益率 无关.
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