1. Ito 公式
微积分中的牛顿莱布尼兹公式将微分和积分统一在一起. 设 可导， 在 是有界变差的，那么
随机积分不满足上式，如 Brown 运动关于自身的的积分
则
不满足牛顿莱布尼兹公式.
（定理- 公式）设 是二次连续可导的，则
Proof
使用 Taylor 展开：
其中 位于 与 之间，因此
等式右边第一项的极限是随机积分. 对于第二项，可将其拆分成三部分
的极限即为
对于 ，用 表示 在 与 之间的振幅，那么
因为 连续，所以按照样本轨道看的话，
对于 ，用独立增量性得
所以
故
由此推出：
2. 关于随机积分的积分
设 连续， 是有界变差函数，定义
它也是一个有界变差的函数. 任何的连续函数 可以关于它积分且有如下公式
对于随机积分也有类似的性质.
（定理）如果 ，且 可积，那么 关于 也可积且
其中
Proof
设 关于 Brown 运动 可积，记 ，对于可积过程 的取左端点的 R-S 和
记右边第一个和为 ，如果 有界，即 ，那么
因此 与 的极限是一样的.
3. Ito 半鞅
（定义-半鞅）随机积分和连续有界变差过程的和，定义 半鞅：
其中 是可积的， 是连续适应的有界变差过程且 . 可以看出 的二次变差是存在的且
即 的二次变差仅由它的随机积分部分（鞅部分）产生.
公式对 半鞅依然成立：
（定理）设 是如上的 半鞅， 是二次连续可导的函数，则有
其中 是关于 Brown 运动的随机积分，是鞅. 第二项，第三项都是连续有界变差过程，因此 是半鞅.
当且仅当
时， 是鞅. 如果 ，该等式等价于
因此
是鞅，设 则
是鞅，这个鞅称为是 的指数鞅.
4. 平方可积鞅
设 是流， 是关于 的标准 Brown 运动，对任何的 ，关于流 的连续平方可积鞅 全体 是一个 Hilbert 空间，对 ，内积定义为：
它与二次变差不同. 当 可积时，. 一般的连续平方可积鞅不一定是这样的形式. 但是，如果我们选 就是 生成的流，那么对 ，存在可积的 使得
（定理 - K.Ito，鞅表示定理）对任何 ，如果 是一个关于 可测的平方可积随机变量，那么存在一个唯一的可积随机过程 使得
在离散的情形，这相当于说：如果 是一个平方可积鞅， 是个正整数， 是关于
可测的随机变量，那么存在 使得
这实际上是说一个衍生证券是可以对冲的，所以鞅表示定理实际上是在说以 Brown 运动作为证券模型的市场是完备的，而且 正是所需的投资策略.
如果 是一个关于流 的平方可积鞅，那么 且平方可积. 由 表示定理知，存在 使得
两边对 求条件期望得，对任何 有
即关于 Brown 运动流的平方可积鞅总是可以表示为一个过程关于 Brown 运动的随机积分.
5. 关于平方可积鞅的随机积分
设 是一个关于流 适应的连续的平方可积鞅. 可以定义 关于 的积分. 仿照 是 Brown 运动的情况，我们说 关于 可积是指当 趋于零时，取左端点的 和：
有至少是依概率收敛的意义下的极限.
一个重要的结论是连续平方可积鞅 的二次变差过程 是存在的，且
也是鞅.
6. 连续半鞅
（定义）一个随机过程 称为是连续半鞅，如果它可以写成一个连续平方可积鞅 和一个初值为零的连续适应的有界变差过程 的和.
分别称为是连续半鞅的鞅部分和有界变差部分. 要求 的初值为零是为了保证这个分解的唯一性.
随机过程 关于 可积是指它关于鞅 和关于有界变差过程 都可积，这时
右侧两部分分别称为随机积分和通常积分，因为他们分别是鞅和有界变差的，所以 依然时连续半鞅.
连续半鞅的二次变差存在，且等于其鞅部分的二次变差
此外，如果 关于 可积，且 也是连续半鞅，那么
如果 关于半鞅 可积， 关于半鞅 可积，那么：
对于连续半鞅 的积分一样有 公式：如果 二次连续可导，那么
当 时，， 公式就是通常的 Newton-Leibniz 公式.
特别的，令 ，有
这样，如果 都是半鞅，那么
7. Brown 运动的鞅刻画
连续平方可积鞅有很多性质类似于 Brown 运动
（定理）设 是连续平方可积鞅，如果 ，那么 就是 Brown 运动.
8. 测度变换
当 是连续的平方可积鞅时，它的指数鞅
当下面的可积性条件满足时是鞅：
此外，若 Novikov 条件满足时，也是鞅：
随机过程 是严格正的，因为是鞅，所以 ，可以用它来定义一个新的测度
容易验证 是一个和 等价的概率测度，所以称为等价测度变换.
测度变换时：
- 鞅由条件期望定义，肯定改变
- 在 测度下的 Brown 运动在新测度下不一定是 Brown 运动
- 二次变差过程由极限定义，只与零概率集有关，不会改变
- 随机积分只与零概率集有关，不会改变
（引理1）当 时，
Proof
因为 是鞅，所以
（引理2） 是 -鞅当且仅当 是 -鞅.
Proof
只需证明对 ，有
这等价于证明对 有
实际上，由之前的引理以及鞅定义
（定理-Girsanov）如果 是 -连续平方可积鞅，那么
是 -鞅.
Proof
只需验证 是 -鞅即可，因为两个过程都是 -连续半鞅，利用分部积分公式
最后一个等号是因为
故而
特别地，取
那么 在新概率测度下不是 Brown 运动，但它是一个连续半鞅，因为
是一个 - 连续平方可积鞅.
进一步， 的二次变差过程 再由 Brown 运动的鞅刻画定理推出， 在新测度 下是一个 Brown 运动.
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