投资策略 关于证券价格 的随机积分是
其连续时间随机积分形式为
讨论这个随机积分怎么定义，有什么性质，如何计算.
1. 有界变差和 Stieltjes 积分
一个自然的方法是按照轨道定义，即固定 来看函数 关于函数 的积分，称为 Stieltjes 积分，是 Riemann 积分的推广. 设有 上的连续函数 和函数 , 关于 的 Riemann-Stieltjes 积分 是以下 R-S 和当划分趋于零时的极限（如果存在）
其中 是 上的划分，. 这个定义和 Riemann 积分基本上是一致的，但不是对所有的函数 ，这个积分都存在. 仿照 Riemann 积分的理论可以证明：当 是有界变差函数，且 连续的时候，这个积分一定存在. 通常的 Riemann 积分是 时候的特殊情况. 而这个积分对所有连续函数存在的充分必要条件是 是有界变差函数.
（定理）如果当 趋于零时，极限
对所有有界连续函数 存在，那么 是有界变差函数.
因为 Brown 运动的轨道在任何区间上都不是有界变差的，所以不能使用按照轨道积分的方式定义关于 Brown 运动的积分.
2. Brown 运动关于自身的积分
Brown 运动的 Riemann-Stieltjes 和的按轨道的极限不可能存在，但还有别的极限，比如 极限或更一般的依概率收敛的极限.
Brown 运动关于自身的 R-S 和为：
其中 是 的一个划分
因为其中的 ，所以这个和称为是取左端点的 R-S 和，对应的有取右端点的 R-S 和. 在 R-S 可积时，这个极限不可能依赖于左端点或者右端点. 一个简单的 Abel 变换可以看出，取左端点的和与取右端点的和有关系：
二次变差
即
当划分列 趋于零时，二次变差 在 意义下趋于 ，因此有如下引理:
（引理）在 意义下，取左端点的 R-S 和的极限存在
由左端点和与右端点和的关系推出，取右端点的 R-S 和的极限也存在，但极限不同，为
猜测：
- 尽管 R-S 和的极限在轨道意义下不一定存在，但在 意义下存在，而且与通常的情况不同，取左端点的极限和取右端点的极限是不一样的.
- 极限存在的关键是二次变差的极限存在.
但与通常情况不同的是，当函数 在 上连续且有界变差的时候，应该有以下公式：
这说明，尽管关于 Brown 运动的积分也是某种形式的 R-S 和的某种意义下的极限，但它是一种完全新的积分，与通常的 R-S 积分有本质差别.
3. Ito 恒等式
定义一个随机过程 关于 Brown 运动 的积分. 如果能够定义，那么对任何 ，我们把 上的积分记为：
或者 ，这形成一个新的随机过程 ，称为 关于 的随机积分过程，或者随机积分.
我们需要证明 R-S 和
的极限存在，但不是在轨道意义下，而是 收敛或者依概率收敛的意义下. 令
它是一个阶梯型的随机过程，在区间 上是随机变量 . 当 的轨道左连续的时候，对几乎所有的轨道， 点点收敛于 . 直观地看， 就是 关于 在轨道意义上的积分，即
在证明经典的 R-S 积分存在时，实际上利用 Darboux 上和与 Darboux 下和以及被积函数的一致连续性，其实并不知道极限是什么. 要证明上面的和 收敛，只需要证明它是 空间上的一个 Cauchy 列.
为此需要计算 R-S 和的 范数. 范数的计算主要依赖于独立增量性，因为独立增量性，当 时，，由条件期望的性质以及 Brown 运动的鞅性：
再利用独立增量性， 与 独立，因此有：
最后一行，也是一个 Riemann 和的样子，也就是说，它是函数 的 Riemann 和. 如果 是连续有界的，那么这个 Riemann 和是有极限的. 将上述等式写成 Riemann 积分的形式
其左边是 距离，右边是 的一个函数，也像是一个 距离，不妨给随机过程空间定义一个范数
那么当 左连续的时候有（ 恒等式）
（定理）对 的划分 D 有：
用算子的语言说，这个等式是指算子
是一个某个线性空间到 空间的保范线性算子.
4. Ito 积分
因为 ，所以对任何 ，存在 ，只要 就有 . 因此对任何两个划分 只要 就有
由 恒等式推出：
这说明 是 空间中的 Cauchy 列，由 空间的完备性，推出 的 极限存在唯一，记为 ，但是因为这个极限是区间 上的划分得来的，所以 应该是 且极限应该是 ，即： 是 收敛于 的.
因此，实际上 和 也是随机过程，这个随机过程被称为是 关于 的 型随机积分，和通常的积分类似，记为：
相应的 恒等式为
上面计算的有效性依赖于以下几点：
- 适应于
- 几乎所有轨道左连续
- R-S 和是取 的左端点
- 对任何 ，
（定义）如果有一个适应随机过程 满足当 趋于零时， 在依概率收敛的意义下有极限，那么我们说 是 可积的.
此外，如果对任何 ，，那么 在 收敛的意义下有极限，因此 是可积的.
5. 随机积分的鞅性
设 是 上的一个划分，. 计算条件期望
存在 使得 ，把条件期望分成三部分
第一部分关于 可测，第二部分因为 是 可测的，且由 Brown 运动的鞅性得它等于 ，第三部分中的任何 , 都有 ，所以：
因此
因为 是 在 上的投影，是 上的划分，记
固定 以及 的划分 之后，它是时间 上的随机过程.
是连续鞅，且当 趋于零时，对任何 ， 在 意义下收敛于 由此推出
即极限 是一个鞅，因为 是任意的，所以可认为 对任何 都有定义.
此外，可证明
是鞅
6. 连续性
上面定义了随机过程 关于 Brown 运动 的随机积分 ，它是一个鞅. 因为它是连续鞅 的极限，所以我们猜测 也是一个连续鞅.
设 是连续的平方可积鞅序列，且 在 意义下收敛于 . 定义
（定理） 也是连续鞅
（引理-Kolmogorov 不等式）如果 是右连续鞅，那么对任何 有
把这个不等式应用于鞅 ，得：
因为 在 意义下收敛于 ，所以右侧收敛到 0. 由此推出 依概率收敛于零，这蕴含着存在子列按几乎所有轨道趋于零. 按一条样本轨道来看就是 在区间 上一致收敛于 ，因此 在 上连续.
因此 不仅存在而且是连续的鞅. 这实际上证明了平方可积连续鞅的空间是一个完备的内积空间，即 Hilbert 空间. 算子 是两个空间之间的等距线性算子.
7. 二次变差过程
对任何 ，Brown 运动 在 上的二次变差是 ，把它也看成是一个随机过程，我们说 Brown 运动的二次变差过程是 ，记为：
（定义）设 是一个随机过程，如果存在一个随机过程 使得对任何 以及 上的划分 ，当 趋于零时，有
依概率收敛于 ，那么我们说 是 的二次变差过程，记为
可简记为
如果 是两个连续的随机过程，那么
依概率收敛的极限存在的话，就称其为 的协变差过程，记为 ，当 时即为二次变差过程. 由平行四边形法则，如果 与 有二次变差过程，那么 有协变差，且
如果 至少一个是有界变差过程，即它的几乎所有轨道在任何有限区间上是有界变差的，那么 . 事实上，如果 是有界变差的，那么
由于 是连续的，当 趋于精确时， 趋于 0. 由于 是有界变差过程，所以 有限，因此右边趋于0. （只要有一个是有界变差的，协变差即为0）
（定理）随机积分 有二次变差
设 是 上一段，再进行一次划分 ，则
所以
如果有两个可积的随机过程 ，那么 与 的协变差存在：
而且
是一个鞅.
（推论）和 Brown 运动一样，任何的平方可积的连续鞅都不是有界变差的，除非它是关于时间不变的.
一个随机过程 关于时间不变是指：对任何
只需证明：如果 在 上是有界变差的，即它的几乎所有样本轨道（在任何有限区间上）是有界变差的，那么对任何 有
按样本轨道来看，当 趋于零时，因为 连续且有界变差，所以
所以，只要保证极限和期望可以交换就可以推出
因此，除非关于时间不变，否则鞅的轨道总是粗糙的. 此命题的逆否命题为：一个非常值的平方可积的连续鞅不可能是有界变差的.
如何保证极限和期望可交换 - 局部化方法
对 ，定义停时
那么随着 增大，，停止过程 还是平方可积的连续鞅，且它以及它的变差过程是被常数 控制的，这样极限和期望就可以交换，推出 关于时间不变，再让 趋于无穷即可. 随机分析中很多极限和期望交换的问题都可以用局部化方法解决.
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