1. 连续时间随机过程
连续时间随机过程与离散时间随机过程概念类似.
1.1 随机过程与样本轨道
给定概率空间 ，如果对任何 ， 是一个随机变量，那么我们说 是一个随机过程.
此时，对任何 , 把 作为变量，是 上的函数，它被称为样本 所对应的样本轨道，简称为样本轨道.
如果一个性质对几乎所有 成立，我们就说几乎所有样本轨道有这个性质. 例如几乎所有的样本轨道连续，我们就说随机过程是连续的.
1.2 信息流，鞅，停时
如果对任何 ， 是一个事件域且对任何 有 ，那么我们就说 是一个信息流，简称为流.
如果对于任何 ， 关于 可测，那么我们说随机过程 适应于
一个随机过程也有自然流，是其所适应的最小流.
（定义）设 是一个适应于流 的随机过程，如果：
- 对任何 ，有
- 对任何 ，有
则称 为鞅，若
- ，则称 为下鞅
- ，则称 为上鞅
如果一个连续的随机过程是鞅，则称为连续鞅.
一个随机时间 称为一个停时，如果对任何 有
对任何集合 ，定义首次通过时间（首中时）
直观上，只要看时间 之前的轨道就可以知道是不是已经到达 .
（Doob 停止定理）如果 是连续鞅， 是停时，那么停止过程 也是鞅.
2. Brown 运动
布朗运动（直观）性质：
- 粒子时刻在等可能地朝不同方向运动
- 进一步的运动与之前的运动无关
- 永远不会停止
布朗运动可用随机过程 表示，它满足：
其中 称为转移密度函数，满足：
这里 是传导系数，通常取为 . 实际上满足以上方程的解是方差为 的正态分布密度函数
此外，还可证明布朗运动满足：轨道几乎处处连续，几乎处处不可导.
（定义）随机过程 是 Brown 运动，如果
- 对任何 ， 与 独立
- 对任何 ， 服从方差 期望为 0 的正态分布
- 几乎所有轨道连续
其中 是自然流，如果再有 ，那么称为标准 Brown 运动.
标准 Brown 运动性质：
- 对称性： 也是标准 Brown 运动
- 分形性：对任何实数 ， 也是标准 Brown 运动
- 可逆性： 也是标准 Brown 运动
3. 反射原理
设 是标准 Brown 运动，把轨道作为函数 画在时间-位置平面上，对任何 ，把 时间之后的轨道按高度为 且平行于时间轴的直线 进行反射，得到新的轨道，那么新的轨道组成的随机过程也是标准 Brown 运动. 即：
也是标准 Brown 运动. 这是在固定的时间反射，也可以定义在固定位置反射. 设 ，定义停时
定义：
计算 的分布：由反射原理
因此：
则
即标准 Brown 运动的几乎所有轨道在有限时间内都会碰到
4. Brown 运动与鞅
设 是关于流 的标准 Brown 运动，因为 与 独立，所以
即是说 本身是个鞅. 自然 也与 独立，所以
是下鞅，根据条件期望性质：
因此随机过程 是鞅. 且是指数鞅，对任何 ，增量的函数 与 独立且它的期望为 ，所以
或者
因此随机过程
是（指数）鞅.
指数鞅是最重要的鞅，因为它如同一个母鞅，将其展开得到：
从而看出 都是鞅.
5. Doob 停止定理的应用
例一：障碍问题
设有 ， 是标准 Brown 运动， 分别是 的首次通过时间，，是首次到达集合 的时间，显然
计算首先到达 的概率 ，因为 是鞅，所以 . 由于 ，故
由控制收敛定理推出 ，又
推出
再算 ，利用 是鞅的结论，有
再应用单调收敛定理和控制收敛定理得
例二
计算 会碰到斜率为 的直线 的概率，其中 .
设 是 1 维标准 Brown 运动，对 ，定义 是 到点 的首中时，由反射原理可知 Brown 运动一定会到达 ，即
- 当 时，
- 当 时，未必碰到
由指数鞅性质，对任何实数
是鞅，那么由 Doob 定理
让 趋于无穷，问题的关键时极限与期望能否交换
当 时，因为 ，故
因此要保证 中的指数关于 有界，必须
要求 ，分两种情况：
- 当 时，
- 当 时，只有当 时才有
因此只要 就可以应用有界收敛定理，当 趋于无穷时，
因此
当 时，有 ，所以
在第一种情况下（），我们可以让 ，得 ；在第二种情况下（），我们让 ，得：
不一定碰到， 越小越容易碰到.
在 时，我们可以算出 的 Laplace 变换，因为
令 ，得 因此
如果用 表示上面的 并且把 看成时间，那么 也是随机过程，可以证明它是一个平稳独立增量过程.
6. 粗糙轨道
6.1 定义
粗糙的定义：如果一个连续函数 的图像曲线在任何一个区间上的长度都是无穷，那么我们就说这个连续函数的轨道是粗糙的. 如果 在任何一段区间上是光滑（连续可导）的，那么它在这一段上的长度必然是有限的，所以轨道粗糙意味着它没有任何一段是光滑的.
曲线长度：没有严格定义，利用全变差来近似.
假设 是 上连续函数，用 表示图像 的长度. 用 表示 的一个划分，由三角不等式
其中 是 在 上的变差，记为 . 因此
然后对所有的 取上确界， 就是 的全变差，记为 ，有
因此：函数在任何区间上的全变差是无穷 ⇒ 函数是粗糙的
6.2 Brown 运动轨道粗糙
因为 Brown 运动的几乎所有轨道都是连续的，不妨认为 是连续的，显然 在区间 的划分 上变差为
其中 是正态分布，其期望为
则
划分的越精确 ，则 ，但仍推不出
引入函数的二次变差
显然
如果 ，那么任取一个趋于 0 的划分列 ，因为函数连续，故有
因此推出
其逆否命题为：如果存在一个趋于零的划分列 有
则
我们把 在区间 上关于划分 的二次变差写成
其中 是一个依赖于 的随机变量，它的期望为
由
则
因此，当 是趋于零的划分列时，有
即二次变差 在 意义下的极限是 （收敛到一个正数），说明一定有一个子列是几乎处处收敛的. 精确地说，存在零概率集 使得当 , 函数 在 上的全变差无限，取
那么 且对 ，函数 在任何以有理数为端点的区间上都有无限的全变差，所以有就是在任何区间上有无限的全变差.
（定理）Brown 运动的几乎所有轨道在任何区间上都不是有界变差的，即几乎所有轨道都是粗糙的. 此外，还可证明 Brown 运动几乎所有轨道在任何点都不可导.
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