1. 公平游戏与鞅
1.1 随机过程
随机过程是按时间记录的随机变量族. 时间分为两类：
- 连续时间： 的一个区间
- 离散时间：一个连续整数集
固定概率空间 , 例如
- 对任何 (连续)， 是随机变量，那么 称为是随机过程
- 对任何整数 ， 是随机变量，那么 称为是随机序列
对任何 ， 是一个数列，称为是样本点 的轨道，样本点可以等同于它的轨道，称为样本轨道 — 随机序列中的某个样本就是某一条轨道. 随机过程通常讨论的即是样本轨道的概率性质.
最简单的随机序列是随机游走，设 是独立随机序列（即其中任何有限个随机变量是相互独立的），令
它称为是 触发的随机游走.
简单随机游走：
1.2 鞅
鞅理论是随机分析的基础. 鞅的概念是简单随机游走的抽象，鞅表达的是公平游戏. 简单随机游走在 时是公平游戏，此时即有
（定义）（可积）随机序列（）是鞅，如果对任何 有：
- 若 ，随机序列 称为下鞅
- 若 ，随机序列 称为上鞅
鞅的直观意思是：（在给定信息下）对财富增量的预期是零. 若 是鞅，定义式两边同时取期望可得
即鞅的期望不变.
- 对于下鞅 ，期望是递增的，趋势变好
- 对于上鞅 ，期望是递减的，趋势转坏
1.3 流与信息
上述定义中为指明“信息”的含义。如果有时间的概念，那么信息总是随着时间而增加的，就是所谓的信息流. 一个递增的子事件域列 () 称为是信息流，或者简单称为流.
一个随机序列 () 称为适应于流 ()，如果对任何 ， 关于 可测.
随机序列 () 本身诱导一个自然的流（自然流）
序列 () 关于其自然流是适应的，自然流是适应流中最小的.
例如，股票的价格形成的流是自然流，反映股价的信息，这个信息显然是最小的使股票价格适应的信息.
通过信息流给出鞅的升级版定义
（定义）设有流 ()，(可积) 随机序列 称为关于 是鞅或者 鞅，如果：
- 适应于流
- 对任何 有
- 若 , 称 是上鞅
- 若 , 称 是下鞅
如果 在其自然流上是鞅，则 在任何适应的流上都是鞅. 因为自然流是最小的适应流，扩张信息不会影响在最小的信息上得到的结果.
由 Jensen 不等式可以得到以下结论：
- 如果 是鞅，且 是凸函数，则 是下鞅，因为
- 如 是下鞅
- 如果 是下鞅，且 是凸且递增的函数，那么 也是下鞅.
此时鞅的定义仍不够完善：鞅是不确定序列中的确定性信息. 在上述定义中，只说给定信息 后，下一时刻 是确定的，下证明 都是确定的，即
对于上鞅：
同理，对于上鞅：
对于鞅，它既是上鞅又是下鞅，因此：
2. 鞅基本定理
设 表示投资所得， 表示头寸，即
称为是 关于 的随机积分.
（Doob 定理）设 是流， 适应于
- 如果 是 鞅，那么 也是
- 如果 是 下鞅， 非负，那么 也是 下鞅
直观理解：只要投资者没有超能力，不能预知未来，那么不管什么策略，游戏还是公平的. 由
上述结论显然.
应用：如果能让投资标的变成鞅，盈利过程也能变成鞅.
3. 首次通过时间
（定义）随机时间 称为停时，如果对任何 有
即：某个事件发生的时间是否是 只需要 这个时间之前的信息就可以判断.
该定义等价于 即：某个事件是否在 之前发生只需 之前的信息就可以判断.
例如：: 股票收盘价达到 30 的日期，是停时；而 : 股票价格达到最高的日期，不是停时.
固定时间总是停时.
（定义）首次通过时间，对 ，定义：
为首次通过 的时间，因为
所以 是停时.
此外，两个停时 取小 或者取大 都是停时.
定义停止随机列（过程）
即在时间 之后就停止不动了.
直观地想，什么时候停止也是一种策略，所以停止过程应该是某种策略关于 的随机积分. 因为 时，游戏继续，反之游戏停止，因此
（定理）Doob 的随选停止定理
如果 是 鞅， 是停时，那么 也是 鞅。因为 是鞅，则有恒等式
如果极限和期望可以交换的话
即给出了 的信息，但不是所有鞅都可以满足极限期望交换。
4. 应用于金融：模型无关
离散情形：设 是风险证券的价格，是一个随机序列. 存贷款的收益率为 . 在时刻 ，投资者的财富为 , 他买入 份证券（ 表示买入， 表示卖出），余下的钱存入银行. 其财富分配即为
到下个时刻，他的财富 中的风险部分变为 , 存款部分变为 ，因此
则
令 , 则
这个等式表示：折现后的财富是策略关于折现后证券价格的随机积分.
（套利定义）市场有套利是指存在一个策略（）和一个时刻 使得 而
即初始时刻财富（投入）为 0，但在时刻 N 财富不为零的概率大于等于零. 市场无套利即指不存在这样的策略. 无套利市场也称为有效市场.
在概率空间 可以有其他概率测度，例如如果 且 ，定义
也是概率测度，且两个概率测度有相同的零概率事件，即
如果两个概率测度有相同的零概率事件集，我们说它们等价. 两个等价的概率测度会改变概率，但不改变基本的随机特性，不会把不可能变成可能，也不会把可能变成不可能. 鞅的定义中概率测度是关键，一个概率测度下的鞅在另一个测度下一般不是鞅.
（第一基本定理：市场有效）市场有效当且仅当存在一个等价概率测度 , 在这个测度下，折现后的证券价格过程 是鞅，这个测度通常称为等价鞅测度.
Proof
充分性：存在等价鞅测度 ⇒ 市场无套利
如果 在测度 下是鞅，则 在这个测度下也是鞅，所以
令 , 则 . 如果有个时刻 使得 ，由 得 . 由概率等价性推出 . 即无套利机会，市场有效.
必要性：在无套利市场中总能构造相应的等价测度使得 是鞅，例如
设两个随机变量 , 无套利蕴含着 恒等于0后者分布在0的两侧. 必要性即需证明：存在一个等价概率测度 使得 ，从而 在概率测度 下是个鞅.
假设 与 的概率都是正的，如果对所有的 有 , 那么令
这是一个光滑函数且可推出
因此这个函数在某个点 处达到最小值，必有 ，即
令
则它是一个等价于 的概率测度且
(推论) 存在等价概率测度 使得随机变量 的期望 的充分必要条件是 或者分布在 的两边，即
（第二基本定理）等价鞅测度的唯一性等价于鞅表示定理，即：可对冲鞅唯一鞅表示(定理).
设 是敲定时刻为 的衍生证券，问题是：是否存在一个初始投资 和策略 使得 , 如果有，我们说 是可以对冲的或者可以复制的，即
上式两边同时从 1 到 求和，得：
因为 在概率 下是鞅，所以衍生品可以用鞅表示，这是对冲的数学意义.
即初始投资是衍生证券关于等价鞅测度下的期望，它应该是无风险定价：卖出一份衍生证券的风险可以通过收取的费用 以及一种投资策略被消除.
市场完备：如果所有的衍生证券都是可对冲的，我们就说市场是完备的.
Summary
- 市场有效
- 等价鞅测度 存在
- 市场不有效有市无价
- 市场完备
- 等价鞅测度 唯一
- 市场不完备有价无市
5. 应用于金融：二叉树模型
市场有效与市场完备定理举例说明
设 是风险证券价格，通常价格总是正的， 是它的自然流，设
为增长率（涨幅），记为 . 假设涨幅是独立同分布的，令
则序列
是独立同分布正随机变量序列，设利率为 ，这样的市场称为简单市场.
市场有效条件
有效市场是指存在等价鞅测度，因为
故存在等价鞅测度存在等价概率测度 使得
因为 不是常数，所以它必须分布在 的两边，不能完全高于或完全低于利率收益，否则就又套利.
进一步假设 取两个可能的值
等价测度只会改变 的值，设 . 那么当 时， 在概率测度 下是鞅. 上面的方程当且仅当 时有解，解为
基于“二叉假设”，市场有效的充分必要条件即为
市场完备条件
不妨设 ，设敲定时间 ，衍生证券 . 是否存在 ，使得
因为 可取两个值 ，所以有两个方程：
有两个方程，两个未知量，刚好存在唯一解
即二叉树模型下，市场是完备的.
如果 有三个取值 ，那么存在等价鞅测度的充分必要条件是
因为方程
有两个变量，故解不唯一，有无穷多的解，此时市场是有效但不完备的.
6. 美式买入期权
敲定时间 敲定价格 的欧式买入期权必须在到期日执行，不能提前执行，所以它到期的价值是 ，它在 0 时刻的价值是
其中 是等价鞅测度. 美式买入期权可以提前行权，如果在一个停时 时刻执行，那么它在 时刻的价值是 ，它在 0 时刻的价格是
要证明美式买入期权不会提前行权即证明：
引理：设 是两个停时，且 ，那么
令 ，则
由 Doob 基本定理，如果 是下鞅，那么 也是下鞅，可得出如下定理:
如果 是下鞅，且 都是停时，则对任何
在等价测度 下， 是鞅，所以
又 递减，因此 是下鞅，又因为 是凸且递增的函数，所以 是下鞅.
由 可知，因为 ，所以
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